[2016년 대화고]

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[1학년 2학기 기말]

제[eqn: 2]항이 [eqn: 5], 제[eqn: 10]항이 [eqn: 29]인 등차수열 [eqn: left{a_ n right]에 대하여 [eqn: a_5]의 값은? [4.3점]

③

① [eqn: 8]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 20]

[eqn: (3^2 )^-2 div 3^-7]의 값은? [4.3점]

④

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 81]

수열 [eqn: left{a_n right]이
[eqn: a_1 =70], [eqn: a_n+1 =a_n -5] ([eqn: n=1,```2,```3,```cdots])
로 정의될 때, [eqn: a_k =15]를 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 값은? [4.3점]

①

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

[eqn: log_x+1 (6-x)]가 정의되도록 하는 정수 [eqn: x]의 개수를 구하면? [4.3점]

①

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

등차수열 [eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 7], [eqn: 10], [eqn: cdots]에 대하여 [eqn: 28]은 제[eqn: n]항이고,
[eqn: 1+4+7+10+cdots+28=k]이다. [eqn: n+k]의 값은? [4.4점]

③

① [eqn: 145]	② [eqn: 150]	③ [eqn: 155]

④ [eqn: 290]	⑤ [eqn: 310]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: 3a]가 순서대로 등차수열을 이루고 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: ab]가 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: a+b]의 값은? [4.4점]

②

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

[eqn: sum_k=1 ^5 (k^3 +2)]의 값은? [4.4점]

⑤

① [eqn: 215]	② [eqn: 225]	③ [eqn: 227]

④ [eqn: 230]	⑤ [eqn: 235]

첫째항부터 제[eqn: 6]항까지의 합이 [eqn: 2], 첫째항부터 제[eqn: 12]항까지의 합이 [eqn: 10]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: 18]항까지의 합은? [4.4점]

①

① [eqn: 42]	② [eqn: 47]	③ [eqn: 52]

④ [eqn: 57]	⑤ [eqn: 62]

양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: log_2 (a+b)= { 5} over {2 }], [eqn: log_6 a+log_6 b=1]일 때,
[eqn: a^3 +b^3]의 값을 구하면? [4.5점]

①

① [eqn: 56 sqrt { 2}]	② [eqn: 62 sqrt { 2}]	③ [eqn: 70 sqrt { 2}]

④ [eqn: 74 sqrt { 2}]	⑤ [eqn: 78 sqrt { 2}]

실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: 18^a =3^b =36]일 때, [eqn: { 1} over {b }- { 1} over {a }]의 값은? [4.5점]

②

① [eqn: -1]	② [eqn: -{ 1} over { 2}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 1]

어떤 세균을 [eqn: 1]회 배양하면 그 중 [eqn: 4]마리가 죽고, 나머지는 각각 [eqn: 2]마리로 분열된다고 한다. 이 세균 [eqn: 9]마리를 [eqn: 5]회 배양하였을 때의 세균의 개수는? [4.5점]

④

① [eqn: 22]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 48]

[eqn: log_7 2 =a], [eqn: log_7 3=b]라고 할 때, [eqn: { 1} over { 4}`log_ sqrt { 2} 18]을 [eqn: a], [eqn: b]로 나타낸 것으로 옳은 것은? [4.5점]

②

① [eqn: { 1} over {3 }+ { b} over {2a }]	② [eqn: {1} over {2} + {b} over {a}]	③ [eqn: 1+ {a} over {2b}]

④ [eqn: {2} over {3} + {a} over {b}]	⑤ [eqn: 2+ { a} over { b}]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 -8x+(n+1)(n+3)=0]의 두 근
[eqn: alpha_n], [eqn: beta_n]에 대하여 [eqn: sum_n=1 ^7 left( { 1} over {alpha_n } + { 1} over {beta_n } right)]의 값은? [4.6점]

⑤

① [eqn: 2over5]	② [eqn: 28over45]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 8over5]	⑤ [eqn: 112over45]

[eqn: 1]이 아닌 세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 [eqn: a^5 =b^4 =c^3]이 성립할 때, [eqn: log_a b +log_b c]의 값을 구하면? [4.6점]

④

① [eqn: 23over20]	② [eqn: 8over5]	③ [eqn: 9over4]

④ [eqn: 31over12]	⑤ [eqn: 17over6]

다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 11^n -4^n]이 [eqn: 7]의 배수임을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f(k)], (나)에 알맞은 식을 [eqn: g(k)], (다)에 알맞은 수를 [eqn: a]라 할 때, [eqn: f(2)+g(1)+a]의 값은? [4.6점]

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때

[eqn: 11-4=7]이므로 [eqn: 7]의 배수이다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때

[eqn: 11^k -4^k =7p]([eqn: p]는 자연수)라 가정하자.

주어진 식에 [eqn: n=box{`````(가)`````}]을 대입하면

[eqn: 11 ^{k+1} -4 ^{k+1}# ``````````````````=11 CDOT 11 ^{k} -4 CDOT 4 ^{k}# ``````````````````=11 CDOT (` BOX{`````(나)`````} `)+7 CDOT 4 ^{k}# ``````````````````= BOX{`````(다)`````} `p+7 CDOT 4 ^{k}# ``````````````````=7 CDOT (11p+4 ^{k} )```(11p+4 ^{k} 은```자연수)]

이므로 [eqn: 7]의 배수이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 11^n -4^n]은 [eqn: 7]의 배수이다.

⑤

① [eqn: 83]	② [eqn: 84]	③ [eqn: 85]

④ [eqn: 86]	⑤ [eqn: 87]

[16~17번] 다음 상용로그표를 이용하여 물음에 답하시오.

<상용로그표>

수	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: cdots]	[eqn: 8]	[eqn: 9]
[eqn: 1.0]	[eqn: .0000]	[eqn: .0043]	[eqn: .0086]	[eqn: .0128]		[eqn: .0334]	[eqn: 0.374]
[eqn: vdots]
[eqn: 3.5]	[eqn: .5441]	[eqn: .5453]	[eqn: .5465]	[eqn: .5478]		[eqn: .5539]	[eqn: .5551]
[eqn: 3.6]	[eqn: .5563]	[eqn: .5575]	[eqn: .5587]	[eqn: .5599]		[eqn: .5658]	[eqn: .5670]
[eqn: 3.7]	[eqn: .5682]	[eqn: .5694]	[eqn: .5705]	[eqn: .5717]		[eqn: .5775]	[eqn: .5786]

[eqn: 351div 0.00378]의 상용로그 값은? [4.6점]

⑤

① [eqn: -3.5453]	② [eqn: -1.467]	③ [eqn: 2.5459]

④ [eqn: 3.8775]	⑤ [eqn: 4.9678]

세기가 [eqn: x rmW]인 전파가 어떤 벽을 투과하여 세기가 [eqn: y rmW]인 전파로 바뀔 때, 그 벽의 전파 감쇠비는 [eqn: 10 log { y} over {x } rmdB]이라고 한다. 세기가 [eqn: 100rmW]인 전파가 어떤 벽을 투과하여 세기가 [eqn: 36.9rmW]인 전파로 바뀌었을 때, 이 벽의 전파감쇠비는 [eqn: k rmdB]이다. [eqn: k]의 값은? [4.7점]

③

① [eqn: -5.76]	② [eqn: -5.12]	③ [eqn: -4.33]

④ [eqn: -3.65]	⑤ [eqn: -2.68]

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위에 다음 조건을 모두 만족시키도록 점 [eqn: rmA_1], [eqn: rmA_2], [eqn: rmA_3], [eqn: cdots]를 차례로 정한다. [eqn: rmA_18]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: d], [eqn: rmA_15]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: c]라 할 때, [eqn: d-c]의 값은? [4.7점]

③

(가) 점 [eqn: rmA_1]의 좌표는 [eqn: (1,```1)]이다.

(나) 점 [eqn: {rmA}_n]의 좌표는 [eqn: (b_n ,```b_n ^2 )]이다.

(다) 직선 [eqn: {rmA}_n{rmA}_n+1]의 기울기는 [eqn: 3n]이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

수열 [eqn: left{a_n right}]이 [eqn: sum_k=1 ^n a_3k-2 =n^2 +pn], [eqn: sum_k=1 ^n a_3k-1 =pn^2 +qn],
[eqn: sum_k=1 ^n a_3k =qn^2]을 만족시키고 [eqn: a_9 =20], [eqn: a_11 =18]일 때, [eqn: sum_k=1 ^9 a_k]의 값은? [4.7점]

④

① [eqn: 38]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 72]

④ [eqn: 81]	⑤ [eqn: 134]

좌표평면 위의 두 점 [eqn: {rmP}_n left( { 1} over { 2^n},```0 right)], [eqn: {rmQ}_n left(0,``` { 1} over {2^n }right)]에 대하여 [eqn: {rmP}_n], [eqn: {rmQ}_n]을 [eqn: 1:2]로 내분하는 점과 [eqn: 1:2]로 외분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum_n=1 ^4 S_n]의 값은? [4.7점]

②

① [eqn: 15over144 pi]	② [eqn: { 85} over {288 }pi]	③ [eqn: 5over6 pi]

④ [eqn: {15} over {16} pi]	⑤ [eqn: 85 over72 pi]

서술형

지진의 에너지는 지진의 규모에 따라 달라지며, 지진의 규모 [eqn: M]과 지진에 의해 발생되는 지진의 에너지 [eqn: E] 사이에는
[eqn: logE=11.4+1.5M]
이 성립한다. 규모 [eqn: 7]의 지진은 규모 [eqn: 2]의 지진에 비하여 에너지가 [eqn: 10^k]배 더 강하다고 할 때, [eqn: k]값을 구하고 풀이과정을 서술하시오. [5.0점]

[eqn: 7.5]

달걀의 부화에 대한 연구 결과 무게가 [eqn: m](단위:[eqn: rmg])인 알의 부화기간을 [eqn: I(m)]일, 부화기간 동안 하루 수분 손실량을 [eqn: R(m)]이라고 할 때, 다음의 관계식이 성립한다.
[eqn: I(m)=10m^0.25], [eqn: R(m)=0.02m^0.75]
[eqn: 수분```손실```비율(%)= { 수분의```총```손실량} over {알의```무게 }times100]
다음 질문에 풀이과정과 답을 서술하시오.

(1) [eqn: 20]

(2) 타당하다.

(1) 무게가 [eqn: 100rmg]인 달걀의 수분 손실 비율을 구하시오.

[2.0점]

(2) 이 때 한 연구자가 “달걀의 무게와 관계없이

수분손실비율은 일정하다.”라는 주장을 한다.

이 주장이 타당한지 근거를 제시하시오. [3.0점]

[2016년 대화고]

[1학년 2학기 기말]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com